伯努利不等式
观点
- 对于任意整数 $n \ge 1$ ，$x \ge -1$ , 有 $(1 + x)^n \ge 1 + nx$ 。
- 如果 $n \ge 0$ 并且为偶数，那么x为任意实数都成立。
- 等号在$ n \in {0, 1} 或 x = 0 $的时候成立。
证明
- 当$n = {0, 1}, x \ge -1 $ ,等式成立。
- 假设 $n \gt 1$, $x \ge -1$, 等式也成立。
- $(1 + x)^{n + 1} = (1 + x)(1 + x)^n \ge (1 + x)(1 + nx) = 1 + (n + 1)x + nx^2 \ge 1 + (n + 1)x $
伯努利不等式的实数版本
观点
- 如果$x \gt -1, r \le 0 $或$ r \ge 1$, 有$ (1 + x)^r \ge 1 + rx$
- 如果$ x > -1, 0 \le r \le 1$, 有$(1 + x)^r \le 1 + rx$
证明
- $x \in (-1, +\infty)$范围内，定义函数$f(x)= (1 + x)^r - rx - 1, f(0) = 0$
- 有${f}’(x) = r(1 + x)^{r - 1} - r, {f}’(0) = 0$
- 对于$0 < r < 1$, 对于$ -1 < x < 0, {f}’(x) > 0;x \gt 0 $时, ${f}’(x) < 0$ , 因此 $f(0) = 0$为极大值
- 对于$1 < r$ 或 $r < 0$, 对于 $-1 < x < 0$, ${f}’(x) < 0;x \gt 0$ 时, ${f}’(x) > 0$ ,因此 $f(0) = 0$为极小值