整数编码

[!IMPORTANT]

数字是以“补码”的形式存储在计算机中。

  • 原码（sign-magnitude）：原码中，将数据的二进制表示的最高位视为符号位，0表示正数，1表示负数。
  • 反码（1‘s complement）：正数的反码与原码相同，负数的反码是除符号位外的所有位取反。
  • 补码（2’s complement）：正数的补码与原码相同，负数的补码是在其反码的基础上加1。

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计算机内部的硬件电路主要是基于加法运算实现的，因此，我们需要考虑三种数据表示方法对加法运算的支持程度。

  • 原码最直观，但负数的原码不能直接用于计算，比如上面的$+5（00000101）+ （-0（10000000））= -5（10000101）$，正确答案应该是5。
  • 通过取反码相加再取反，可以得到正确结果，$+5（00000101） + （-0（11111111））= 5 （00000101）$（反码相加需要循环进位，最高位的1进位到最低位），但反码有正负0两种表示，存在歧义。
  • 如果换成补码，则 $+5（00000101） + （-0（0000000）） = 5 （00000101）$（补码相加，溢出位直接丢弃。）

正是因为补码完美解决了原码和反码的痛点，现代计算机的硬件电路里其实根本没有独立的“减法器”。

当你执行减法（比如 A - B）时，CPU 内部的加法器会通过一个简单的逻辑电路，把减数 B 的每一位取反，并在最低位的进位输入端偷偷加一个 1。这正好完美实现了“取反加一”的补码转换操作。这样一来，计算机只需要一套加法器电路，就能通吃所有的加减运算，极大地简化了硬件设计并提升了运算速度。

浮点数编码

浮点数由三个部分组成，由32比特长度的二进制数表示。
$b_{31}b_{30}b_{29}...b_{2}b_{1}b_{0}$

  • 符号位S：占1位，对应 $b_{31}$，
  • 指数位E: 占8位，对应 $b_{30}b_{29}…b_{23}$
  • 分数位N：占23位，对应 $b_{22}b_{21}…b_{0}$

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其转换公示如上图所示，由于指数位的存在，它的取值范围远大于int，但也牺牲了精度，并且两个相邻的数字的差值会随表示数据的增大而增大。

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对于指数位，E=0和E=255都有特殊含义，因此最float可表示的最大值为 $2^{254-127} \cdot (2-2^{23})$ 。

字符编码

计算机中的数据都是二进制表示，因此，为了表示字符，需要规定字符与二进制数的对应关系。

  • 最早的字符集就是 ASCII 字符集。它只有128个编码，只能表示英文。
  • 为了表示中文，中国国家标准总局发布了GB2312字符集，支持简体字。后来，扩展为GBK字符集，兼容了繁体字和罕见字。
  • 字符集限制了多语言环境下的数据表示，不同语言的字符集会发生冲突。因此，unicode诞生，它支持了几乎所有的语言，甚至表情符。为了解决多种长度的unicode的解析歧义问题，unicode采用了等长编码的方式，每个字符都占用2个字节。
  • utf-8在unicode的基础上，实现了变长编码，它通过引入了首个字节的最高n位以及后续字节的前两位来表示字节数。